RSS
Container Icon

علم الهندسة (2)

علم الهندسة (2)

     في البداية كانت كل الهندسة تعتمد على الحدس والبديهة. لكن معلما إغريقيا كان اسمه طاليس انكب في عام (600) قبل الميلاد على إثبات المبادئ الهندسية بطريقة علمية. وفي الهندسة تدعي الحقيقة "نظرية" واكتشف طاليس إثباتات لبعض النظريات فوضع بداية للهندسة الوصفية.
لكن اقليدس الإسكندري (نسبة إلى الإسكندرية في مصر )كان هو الذي منح الهندسة وضع العلم. في عام (300) قبل الميلاد تقريبا جمع اقليدس كل النتائج الهندسية التي كانت معروفة حتى ذلك الوقت. ثم نظمها بطريقة منهجية في سلسلة من (13) كتابا. و أطلق على هذه الكتب اسم "المبادئ"وقد استخدمها العالم كافة قرابة (2000) ألفي عام في دراسة الهندسة. وتطورت هندسة اقليدس على هذه المبادئ. ومع مرور المزمن طور رياضيون مختلفون فروعا أخرى للهندسة. ونحن في الوقت الحاضر ندرس أنواعاً كثيرة من الهندسة مثل الهندسة التحليلية ،وهند المثلثات ، وهندسة منكوفسكي(ذلت الأبعاد الأربعة) ، والهندسة غير الإقليديسية , والهندسة الاسقاطية ، الخ.
إننا نستخدم مبادئ الهندسة في كل حياتنا المعاصرة ، لوضع التصاميم والديكورات في المعمار والمناظر الطبيعية والحدائق. إن الكثير من الأدوات التي يستخدمها المساحون مثل البوصلة والسدسية والمزولة , الخ لها علاقة بالهندسة.

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

علم الهندسة

علم الهندسة

الهندسة هي دراسة مختلف أنواع الأشكال وصفاتها. كما أنها دراسة علاقة الأشكال والزوايا والمسافات ببعضها. وتنقسم الهندسة البسيطة إلى جزئين : الهندسة المستوية والهندسة الفراغية. وفي الهندسة المستوية تدرس الأشكال التي لها بعدين فقط ، أي التي لها طول وعرض. أما الهندسة الفراغية فتدرس الهندسة في ثلاثة أبعاد ، وتتعامل مع مفرغات مثل متوازيات المستطيلات ، والمجسمات الأسطوانية ، والأجسام مخروطية الشكل ، والأجسام الكروية ، الخ ... أي مع الأشكال التي لها طول وعرض وسمك. أصبحت الهندسة جزءا أساسيا من العلوم المعاصرة لا يمكن إحراز أي تقدم بدونها. فهل تعرفون كيف اكتشفت الهندسة؟
        أصل كلمة هندسة باللغة الإنكليزية (جيومتري)يعود إلى لغة الإغريق القديمة.وهي تتكون من كلمتين "جيو" ومعناها الأرض"متري" ومعناها قياس .وهكذا كانوا من أوائل الذين اكتشفوا الهندسة. ففي كل سنة كان نهر النيل يفيض فيغرق الأرياف ، مما كان يؤدي إلى إزالة علامات الحدود بين تقسيمات الأرض المختلفة ، وكانوا لذلك بحاجة إلى طريقة ما لإعادة قياس قطع أراضهم. فصمموا طريقة لوضع علامات للأراضي بمساعدة القوائم والجبال. وكانوا يضعون قائم في الأرض في مكان مناسب . وكان قائم أخر يوضع في مكان أخر ، ثم يوصل القائمان بحبل يحدد الحدود ، وبوصل قائمان آخرين كانت المساحة تعلم كموقع للزراعة أو للبناء.  

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

الصفر وحقيقته

الصفر وحقيقته
الصفر: الرقم الذي لا قيمة له بمفرده لكنه يمنح القيمة المادية والمعنوية أحياناً للأرقام التي يُوضع أمامها
فالصفر ضرورياً لملء الخانات الفارغة بين الأرقام وفي حين كان بعض الكتبة يتركون فراغاً بين الأرقام للدلالة على العدد 603 ـ مثلاً ـ فان بعضهم كان ينسى الأمر مما يسبب ارباكاً في قراءته، لذلك اُعتمد على أشكال من الفواصل التي تدل على الخانة الفارغة ـ أو الصفر ـ لتبيان العدد. لكن مشكلة الخانة الفارغة لم تُحل نهائياً حتى وصل البابليون نحو عام 1000 ق.م لتثبيت رمز «الصفر » في الفترة المتوسطة بين ظهور وانتشار العدّ الموضعي البابلي وأقدم الوثائق التي تحمل رمز الصفر كتلك التي وُجدت في أوروك وتعود لبداية الألف الثاني قبل الميلاد.

و الصفر الذي لم تعرفه أوروبا حتى بدايات القرن الثاني عشر ولم يغير اسمه العربي بل اشتق منه غالباً، فعالم الرياضيات الشهير «فيبوناتشي» يُسمي الصفر في كتاب له «زفيروم» ثم تحول الى: «زفيرو» ثم الى زيرو، ومن التسمية العربية «صفر» اشتقت أيضاً التسمية الأوروبية اللاتينية الجديدة للأرقام chiffer وأصبحت تشير في معظم اللغات الى نظام العدّ العشري.
أوّل من أدخل الصفر في علم الحساب هو العالم المسلم محمد بن موسى الخوارزمي المتوفى عام 235م. وكان هذا الاكتشاف في علم الحساب نقلة كبيرة في دراسة الأرقام وتغيراً جذرياًّ لمفهوم الرقم .

لقد برع العرب في العلوم الرياضية و أجادوا فيها ، و أضافوا إليها إضافات هامة أثارت الإعجاب و الدهشة لدى علماء الغرب ، فاعترفوا بفضلالعرب و أثرهم الكبير في تقدم العلم و العمران .

لقد اطلع العرب على حساب الهنود فأخذوا عنه نظام الترقيم ، إذ أنهم رأوا أنه أفضل من النظام الشائع بينهم و هو نظام الترقيم على حساب الجمل ، و كان لدى الهنود أشكال عديدة للأرقام ، هذب العرب بعضها و كونوا من ذلك سلسلتين ، عرفت إحداهما بالأرقام الهندية و هي التي تستعملها هذه البلاد و أكثر الأقطار العربية و الإسلامية و هي ( 1 ، 2، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ) ، و عرفت الثانية بالأرقام الغبارية ، و قد انتشر استعمالها في بلاد الغرب و الأندلس ، و عن طريق الأندلس دخلت هذه الأرقام إلى أوروبا و عرفت باسم الأرقام العربية (Arabic Number ) و هي :

( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 )
، و ليس المهم هنا تهذيب العرب للأرقام و توفيقهم في اختيار هاتين السلسلتين أو إدخالهما إلى أوروبا ، بل المهم هو إيجاد طريقة جديدة لها و هي طريقة الإحصاء العشري ، و استعمال الصفر لنفس الغاية التي نستعملها الآن .

و كان الهنود يستعملون ( سونيا ) أو الفراغ لتدل على معنى الصفر ، ثم انتقلت هذه اللفظة الهندية إلى العربية باسم ( الصفر ) ، و من هنا أخذها الإفرنج و استعملوها في لغاتهم ، فكان من ذلك (Cipher ) و (Chiffre) و من الصفر أتت الكلمة (Zephyr) و (Cipher) ثم تقلصت عن طريق الاختصار فأصبحت (Zero)

و من المعروف أن للأرقام الرومانية أشكال عديدة بحيث يصعب تعلمها بسهولة ، و لما جاء العرب شعروا بصعوبتها فنقبوا في الأرقام الهندية فوجدوا أن فكرتها أفضل بكثير من السابقة فأخذوا عن الهنود أرقامهم بعد أن طوروها وشذبوها لتكون أكثر فعالية ، و لهذه الأرقام العديد من المزايا منها :

أنها تقتصر على عشرة أشكال بما فيها الصفر ، و من هذه الأشكال يمكن تركيب أي عدد مهما كان كبيرا بينما الأرقام الرومانية تحتاج إلى أشكال عديدة و تشتمل على أشكال جديدة للدلالة على بعض الأعداد .


و من مزاياها أيضا - أي الأرقام العربية أو الهندية - أنها تقوم على النظام العشري ، و على أساس القيم الوضعية بحيث يكون للرقم قيمتان : قيمة في نفسه ، كقيمة الأربعة في العدد 4 ، و قيمة بالنسبة إلى المنزلة التي يقع فيها ، كقيمة الثلاثة في العدد 234 و هي ثلاثين .

و لعل من أهم مزايا هذا النظام هو إدخال الصفر في الترقيم و استعماله في المنازل الخالية من الأرقام ، و لسنا بحاجة إلى أنه لولا الصفر و استعماله لما فاقت الأرقام العربية و الهندية غيرها من الأرقام ، و لما كانت لها أية ميزة ، بل لما فضلتها الأمم على الأنظمة الأخرى المستعملة في الترقيم .

و للصفر فوائد أخرى ، فلولاه لما استطعنا أن نحل كثيرا من المعادلات الرياضية من مختلف الدرجات بالسهولة التي نحلها بها الآن ، و لما تقدمت فروع الرياضيات تقدمها المشهود ، و كذلك لم تتقدم المدنية هذا التقدم العجيب .

و من الغريب أن الأوربيين لم يتمكنوا من استعمال هذه الأرقام إلا بعد انقضاء قرون عديدة من اطلاعهم عليها ، أي أنه لم يعم استعمالها في أوروبا و العالم إلا في أواخر القرن السادس عشر .

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS

وسائل رياضيات




الوسيلة
النموذج
الوسيلة الأولى: مكعبات دينـز
 خطوات الإعداد :- تتكون من وحدات (مكعب صغير بعده 1سم) .
                     - أصابع ويتكون كل منها من 10 وحدات .
                     - مربعات ويتكون كل منها من 10 أصابع .
                     - مكعبات ويتكون كل منها من 10 مربعات .    
  أغراض الوسيلة وتطبيقاتها :
  تكمن فكرة استخدام مكعبات دينز عند إجراء تلك       العمليات ، بمدى   معرفة المقايضة  ، فمثلا يمكن مقايضة   10 وحدات بإصبع واحد ، و   10 أصابع بمربع واحد ، و10     مربعات بمكعب واحد . وعندما يدرب   المعلم تلاميذه على   هذه  المقايضة عندئذ يسهل عليهم إجراء العمليات             الحسابية  الأربع ، وقراءة وكتابة الأعداد ومقارناتها    ومضاعفاتها ،
  كما أنها وسيلة هامة لعمليات الجمع مع الحمل والطرح باستلاف .

  فمثلا : عند جمع : 9 + 4 ، يتم تجزئة العدد 4 إلى ( 1 ، 3 )  لأن 9 + 1 = 10  ، كما يلي :
 9 + 4 = 9 + ( 1 + 3 ) = ( 9 + 1 ) + 3 = 10 + 3 = 13
 مثال آخر :

 لضرب 3 × 24 نقوم بتمثيل العدد 24 ثلاث مرات ، ثم نستخدم المقايضة لنكون من الوحدات إصبع واحد   ثم نحصل على الأصابع وما تبقى من الوحدات وهذا هو العدد الناتج ، كما يلي :




 

















الوسيلة الثانية :   نظـرية فيثـاغورس
  في مثلث قائم الزاوية : مربع طول الوتر = مجموع مربعي الضلعين الآخرين .
خطوات الإعداد :
يقوم المعلم برسم الشكل المقابل على ورق مقوى
ثم قصه لعرضه على الطلاب ، ويفضل عمل عدة
تطبيقات للنظرية حتى يصل الطالب إليها بنفسه .
طريقة العرض والتطبيق :
1- عرض الوسائل على الطلاب ، ويطلب منهم
عد المربعات في كل مربع ، ثم تسجيل عددها في الجدول .
2) سوف يكتشف الطلاب أن عدد المربعات البرتقالية
    تساوي مجموع المربعات الصفراء والخضراء .
3) يقدم المعلم نص النظرية بصورة عامة .
 



الشكل
ظلع صغير
ظلع كبير
الوتر












الوسيلة الثالثة : حل المعادلات بالميزان (مفهـوم الحذف والإضافة ) :
 تقوم فكرة حل المعادلات من الدرجة الأولى على مفهوم الاختزال للثوابت والمتغيرات ، هذا المفهوم يمكن عرض فكرته عن طريق وسيلة ميزان الأعداد المتوفر بالمدارس .
طريقة العرض والتطبيق :
 هذه الوسيلة جاهزة ومتوفرة بالمدارس ، ولكن مع الأسف استخدامها على نطاق ضيق وذلك لقلة إدراك
أهميتها من قبل بعض المعلمين .
ولكي نوضح كيفية تطبيقها نعرض المثال التالي :-
لحل المعادلة : 5س + 7 = 2س + 9 يقوم المعلم بالتالي :
1- وضع الثوابت في طرفي الميزان وذلك بوضع ثقل عن 7 في الطرف الأيمن و 19 في الأيسر .
2-نبدأ بوضع أثقال لمعاملات المجاهيل وهي 5 لليمين و2 لليسار حتى يتساوى طرفي الميزان (لون مختلف ) .
3- نبدأ بعمليات الاختزال بحذف ثقل الثابت 7 من طرفي الميزان ويبين للطلاب أن كفتي الميزان مازالت
     متعادلة ونحصل على المعادلة المكافئة : 5س = 2س + 12 .
4- حذف ثقل المتغير الأصغر (2س) من الطرف الأيسر ، وننقل المتغير الأيمن في الميزان إلى الرقم 3 ، ويصبح
     لدينا المعادلة المكافئة : 3س= 12 .
5- نرفع الثابت (12) من الطرف الأيسر ثم نضع الأثقال عند العدد 3 (معامل س) في نفس الطرف ونعد
     القطع ، فنجد أنها تساوي 4 قطع وهي قيمة المجهول ، أي أن س = 4 .
أغراض الوسيلة وتطبيقاتها :
تستخدم هذه الوسيلة في الصفوف الدنيا من المرحلة الابتدائية لمقارنة الأعداد والأوزان ، وتستخدم في المرحلة المتوسطة لحل معادلات من الدرجة الأولى .


















 
 
 
 
 
 
 

الوسيلة الرابعة : الدوران
مكونات الوسيلة :
تتكون هذه الوسيلة من لوح خشبي يحتوي على دائرتين أحدهما ثابتة والأخرى متحركة .
- الدائرة الثابتة مجزأة حسب الزوايا ( من 0 إلى 360 ) ، وتحتوي على المثلث البنفسجي المطلوب صورته   بالدوران المعطى ، كما أنها تمثل دائرة الوحدة ( لوحة الجيوب المثلثية) الهامة للمرحلة الثانوية .
- الدائرة المتحركة هي أصل الوسيلة ، حيث تحتوي على مثلث مطابق للمثلث الموجود بالدائرة المتحركة   وهو المثلث ذو اللون السماوي .
طريقة العرض والتطبيق :
يقوم المعلم بعرض الوسيلة على الطلاب ، حيث يطابق المثلث الموجود بالدائرة المتحركة على المثلث الموجود بالدائرة الثابتة ، ثم يبدأ بدوران الدائرة المتحركة حتى تنطبق الزاوية المرتكزة على الزاوية صفر وهي (أ) على زاوية الدوران المطلوب . علما بأنه يمكن بدء الدوران بأي نقطة من رؤوس المثلث .
الإستفادة منها : هذه الوسيلة تسهل على المعلم شرح باب الدوران في المرحلة المتوسطة خـاصة عند حل التمارين ، كما أنها مرجع لدائرة الوحدة عند حساب الزوايا المثلثية في المرحلة الثانوية " (جتا ، جا) "، وذلك حسب الربع الأول وحتى الربع الرابع فمثلا : (جتا0 =1 ، حا0 =0 ) ، (جتا90=0 ، جا90=1) .



 
 

 




الوسيلة الخامسـة :المتطابقات الأساسية :-
المتطابقة الأولى ( مربع مجموع حدين) :
 (أ + ب)2 2 + 2أب + ب2    (*)
طريقة الإعداد والعـرض : نكون مربعين متطابقين من الورق المقوى ومستطيلين متطابقين بطول المربع ومربع واحد طول ضلعه يساوي عرض المستطيل ، كما في الشكل المقابل .
 يقوم المعلم أو الطلاب بحساب مساحة المربع الأيمن ومساحة أجزائه في الطرف الأيسر ، ثم يستنتجوا  صحة المتطابقة (*) أعلاه .
وهكذا بالنسبة لباقي المتطابقات .
الوسيلة  السادسة : العــداد
تتكون هذه الوسيلة من قاعدة ترتكز عليها عدة أعمدة تحتوي على خرزات لتمثيل الأعداد حسب المنازل العشرية .
الغرض من الوسيلة :
هذه الوسيلة هامة لطلاب المرحلة الابتدائية وخاصة الصفوف الدنيا ، والهدف منها هو تدريب الطلاب على
قراءة وكتابة الأعداد بطريقة صحيحة ومنطقية وذلك بمعرفة المنازل العشرية لها .
كما يستفاد منها في مقارنة الأعداد ، وإجراء العمليات الحسابية الأربع (الجمع ، الطرح ، الضرب ، القسمة) .


الوسيلة السابعة : مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة .
طريقة الإعـداد والعرض  :
تتكون هذه الوسيلة من مثلثين متطابقين من الخشب أو الورق المقوى ، بحيث يتم تجزيء أحد المثلثين إلى
زوايا منفردة ، ثم ترتب هذه الزوايا مع بعض وملتقية بالرأس لتعطي زاوية مستقيمة (180 درجة) .

الوسيلة الثامنة : حجـم الهـرم .
نظرية : حجم الهرم =   ثلث مساحة القاعدة × الارتفاع
   مدخل : حجم الهـرم = مساحة القاعدة × الارتفاع
طريقة الإعداد :
نحضر مكعبا ثم نقوم بشقه ابتداء من رأس واحد
وبثلاثة اتجاهات مختلفة بحيث يتناسب عمق الشق
مع قطر المكعب الواصل من رأس بدء الشق إلى
الرأس المقابل له ، كما في الشكل .
وسوف تلتقي الشقوق الثلاثة في القطر المذكور
وعندها سيتجزأ المكعب إلى ثلاثة أهرامات .
ومن مبدأ بقاء الحجم يكون حجم كل هرم
هو ثلث حجم المكعب .
الغرض من الوسيلة : 
هذه الوسيلة تعطي مفهوما وبرهانا حسيا لهذه النظرية ، بحيث يصبح بين أيدي الطلاب ثلاثة أهرامات ترتب وتجمع مع بعضها لتعطي البرهان ، وبالتالي لن ينس الطلاب القانون .







الوسيلة التاسعة : الأشكال الهندسية
طريقة الإعـداد :
الشكل المقابل يغني عن تعريف وخطوات إعداد الوسيلة .
الغرض من الوسيلة : 
الهدف من هذه الوسيلة هو توفير مجسم لمعرفة خصائص الأشكال الهندسية (المربع ،المستطيل ،شبه المنحرف ،المعين ،المثلث) وهي هامة لجميع المراحل .


 
  


  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS